(Fig.1)
(Fig.2)
(Fig.3)
Ángulos
Sean dos rayos o semirrectas con un punto común de origen denominado vértice, en trigonometría un ángulo se puede ver como la abertura que se forma al girar o rotar uno de los rayos sobre el otro en torno al vértice. El rayo que gira se llama lado terminal del ángulo y el otro rayo, lado inicial. (Fig. 1)
Hay varias maneras de nombrar los ángulos: 1. Con la letra mayúscula con que se denomina el vértice. 2. Con tres letras mayúsculas, la primera para nombrar un punto del lado inicial, la segunda la del vértice y la tercera para nombrar un punto del lado terminal. 3. Mediante una letra griega escrita en el interior del ángulo. (Fig. 2). Por ejemplo, nos referimos al ángulo mostrado en la Fig. 2 como:
Ángulo en posición normal o estándar
En el plano cartesiano, un ángulo en posición normal es aquél que tiene su vértice en el origen de coordenadas y el lado inicial coincide con el semieje positivo de las x. (Fig. 3).
Medida de un ángulo
Entre otras unidades de medida se destacan dos para medir los ángulos, los grados sexagesimales y los radianes.
Grados sexagesimales
Si el lado terminal de un ángulo hace un giro completo en sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con el lado inicial a este ángulo así formado, denominado ángulo giro, se le asigna una medida de 360 grados (360°). Por lo que un grado 1° es la 1/360 parte de la medida de un ángulo giro.
Un ángulo formado en una rotación de 1/4 de vuelta es un ángulo recto y mide 360°/4 = 90°.
Un ángulo llano es aquél que se forma al girar el lado terminal 1/2 vuelta y su medida es de 360°/2 = 180°.
(Fig.4)
Ángulos positivos y negativos
Por convención, un ángulo formado por una rotación contraria a como lo hacen las manecillas del reloj se considera positivo, mientras que un ángulo formado por una rotación en el sentido de las manecillas del reloj es considerado negativo.
(Fig.5): Ángulo negativo y ángulo positivo
Otras clasificaciones de los ángulos
Si la medida de un ángulo A está entre 0° y 90°, esto es, 0° < A < 90°, se dice que es un ángulo agudo.
Si la medida de un ángulo A está entre 90° y 180°, esto es, 90° < A < 180°, se dice que es un ángulo obtuso.
Si la suma de las medidas de dos ángulos es igual a 90°, los ángulos son complementarios. También por ejemplo, el complemento de un ángulo de 48° es otro cuya medida es de 42° por que 48° + 42° = 90°.
Si la suma de las medidas de dos ángulos es igual a 180°, los ángulos son suplementarios. Además, por ejemplo, el suplemento de un ángulo con medida 108° es un ángulo con medida 72° por que 108° + 72° =180°.
Más precisión en las medidas de los ángulos
Un grado se divide en 60 partes iguales (minutos); es decir, un grado tiene 60 minutos: 1° = 60′ .
Un minuto se divide en 60 partes iguales (segundos); es decir, un minuto tiene 60 segundos: 1′ = 60″ .
Por supuesto, un grado tiene 60 x 60″ = 3600 segundos. Un minuto es igual 1/60 parte de un grado y un segundo igual a 1/3600 parte de un grado y 1/60 parte de un minuto.
Por ejemplo, un ángulo puede medir -52°12′, otro medir 104°22’39” y la medida de un ángulo de 25° se puede expresar como 25° = 24° 59′ 60″.
(Fig.5): Ilustración de radián
Radianes
En análisis matemático es más conveniente dar la medida de los ángulos en radianes.
Un ángulo θ con su vértice en el centro de un círculo de radio r se llama ángulo central.
Radián
Un radián es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo.
Como la circunferencia de un círculo de radio r es igual a 2πr, la medida de un ángulo giro en radianes es de 2π rad (la unidad de medida de un ángulo medido en radianes se simplifica a rad, aunque es costumbre no especificar la unidad de medida cuando se sobreentiende que se está trabajando con radianes).
Fórmulas de conversión
Del párrafo anterior se deduce que 2π rad = 360°, π rad = 180°, 1 rad = 360°/2π ≈ 57°17’45”, 1° = 2π rad/360 ≈ 0.01745 rad.
En general, para convertir la medida de un ángulo de grados a radianes o de radianes a grados se emplean, respectivamente, las siguientes fórmulas:
Ejemplos ilustrativos
La medida de un ángulo recto en radianes es de π/2 rad y la del ángulo llano es de π rad.
El ángulo 2π/3 rad en grados sexagesimales es igual a 120°. Un ángulo que mide π/6 rad, en grados su medida es de 60°.
(Invito al estudiante a que haga las conversiones respectivas, usando las fórmulas, y comente su experiencia en la caja de comentarios ubicada en la parte inferior de la página).
Ejercicios resueltos
Exprese el ángulo dado en términos de grados, minutos y segundos:
1. 58.10° 2. 125.36°
Exprese el ángulo en notación decimal:
3. 11°21’13″ 4. 137°3’35″ 5. 5°5″
One Comment
Talo
Hola don Juan!