Fracciones o quebrados
Una fracción o un número fraccionario expresa una o varias partes iguales de la unidad. En general, las fracciones se escriben de la forma:
El número entero a que está escrito encima de la raya horizontal o a la izquierda de la raya oblicua se denomina numerador de la fracción y el número entero b, escrito debajo de la raya horizontal o a la derecha de la oblicua se llama denominador de la fracción. Genéricamente nos referimos al numerador y al denominador como los términos de la fracción.
El denominador, que se deriva de la palabra denominar o nombrar, indica en cuántas partes iguales se divide la unidad y el numerador, que proviene de la palabra número o cantidad, indica cuántas de esas partes se toman.
Una fracción también se puede ver como el cociente indicado de dos números enteros donde el numerador se identifica con el dividendo y el denominador con el divisor.
Ejemplos ilustrativos
El número fraccionario 1/8, que se lee “un octavo” indica que se toma una de las ocho partes iguales en que se ha dividido la unidad.
El número fraccionario 2/5, que se lee “dos quintos”, indica que se toman dos de las cinco partes iguales en que se ha dividido la unidad.
Estas dos fracciones se pueden visualizar en los siguientes dos dibujos:
Simplificación de fracciones
Una fracción se puede simplificar a una fracción equivalente cancelando factores iguales (distintos de 1) presentes tanto en el numerador como en el denominador de la fracción original.
Ejemplo ilustrativo
La fracción 63/42 se puede simplificar a 3/2: El numerador es el producto de los factores 21 y 3 y el denominador es el producto de 21 y 2, y la fracción se simplifica cancelando el factor 21 presente en el numerador y en el denominador, quedando el factor 3 en el numerador y el factor 2 en el denominador.
Nota: En los videos donde enseño una manera de solucionar los ejercicios enunciados en la sección “Ejercicios resueltos” explico claramente como se simplifican las fracciones expresando los términos de las mismas como productos de factores primos.
Un fracción donde no hay factores comunes simultáneamente en el numerador y denominador es una fracción irreductible .
Amplificación de fracciones
Una fracción, irreductible o no, también se puede amplificar en un número infinito de fracciones equivalentes simplemente con multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por un entero cualquiera distinto de 1.
Ejemplo ilustrativo
Tres fracciones arbitrarias equivalentes a 2/3 se obtienen al multiplicar los términos de 2/3 por 2, 3, y 5 respectivamente: 4/6, 6/9 y 10/15.
Clasificación de las fracciones
Las fracciones se pueden clasificar siguiendo varios criterios.
Fracciones reductibles e irreductibles
Una fracción que se puede simplificar, se dice que es reductible; y una fracción que no se puede simplificar, se dice que es irreductible.
Fracciones propias e impropias
Si el numerador de una fracción es menor que el denominador, se dice que la fracción es propia. Las fracciones propias son menores que 1.
Si el numerador de una fracción es mayor que el denominador, se dice que la fracción es impropia. Las fracciones impropias son mayores que 1.
Ejemplos ilustrativos
Las fracciones 2/7 y 95/121 son propias.
Las fracciones 8/3 y 75/45 son impropias.
Fracciones homogéneas y heterogéneas
Si dos o más fracciones tienen el mismo denominador se dice que son homogéneas entre sí; en cambio, si tienen distinto denominador se dice que son heterogéneas entre sí.
Ejemplos ilustrativos
3/4, 1/4 y -7/4 son fracciones homogéneas entre sí por que las tres tienen el mismo denominador 4.
2/9, 11/3 y 4/3 son fracciones heterogéneas entre sí por que el denominador de la primera fracción es distinto del de las otras dos.
Las fracciones 2/5 y 4/3 que son heterogéneas se pueden amplificar, la primera por 3 y la segunda por 5, de tal modo que las fracciones equivalentes resultantes sean homogéneas: 6/15 y 20/15 tienen denominador común igual a 15.
Las fracciones 4/8 y 9/2 son heterogéneas por que tienen distinto denominador sin embargo, si simplificamos la primera fracción cancelando el factor común 4, se tienen las dos fracciones homogéneas 1/2 y 9/2 con denominador común 2.
Fracciones comunes y fracciones decimales
Una fracción común es aquella con denominador distinto de una potencia de 10. Por ejemplo, 9/7 y 15/24 son fracciones comunes.
Si el denominador de una fracción es un potencia de 10, se dice que es una fracción decimal. Ejemplos de fracciones decimales son 8/10, 21/100 y 7/1 000 000.
Número mixto
Un número se llama mixto si está compuesto por una parte entera y otra parte fraccionaria. Ejemplos de números mixtos son los siguientes:
La parte entera del primer número es 3 y la parte fraccionaria es la fracción propia 5/8. El segundo número mixto tiene 9 unidades de parte entera y 1/4 (un cuarto) de unidad de parte fraccionaria.
Toda fracción impropia se puede expresar como un número mixto con parte entera distinta de cero y parte fraccionaria una fracción propia (en los videos para los “Ejercicios resueltos” de esta sección muestro el procedimiento). Una fracción propia se puede considerar como un número mixto con parte entera igual a 0.
Operaciones básicas con fracciones
Suma y resta
Genéricamente a las operaciones de sumar y restar dos fracciones o la combinación de ambas operaciones con más de dos fracciones se denomina “reducir fracciones” y el resultado es reducir dos o más fracciones a una sola fracción.
Fracciones homogéneas
Para sumar o restar o hacer operaciones combinadas de suma y resta con fracciones homogéneas (con el mismo denominador) simplemente “se escribe el denominador común y se operan los numeradores”
Ejemplos ilustrativos
Fracciones heterogéneas
Para sumar o restar o hacer operaciones combinadas de suma y resta con fracciones heterogéneas (con distinto denominador) se procede como sigue.
Procedimiento:
1) Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores o mínimo común denominador, MCD, este será el denominador de la fracción reducida.
2) Para hallar los términos en el numerador, se divide el MCD por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo. Los signos de los términos en el numerador son los mismos que los que separan las fracciones que se están reduciendo.
3) Se simplifica, si es el caso, la fracción obtenida. Si el resultado es una fracción impropia, se puede expresar este resultado como un número mixto con parte fraccionaria una fracción propia.
Ejemplos ilustrativos
En los videos de la sección “Ejercicios resueltos” muestro detalladamente cómo se reducen fracciones heterogéneas para cada uno de sus matices: dos fracciones (con denominadores primos entre sí o con denominadores uno múltiplo del otro, o con denominadores no primos entre sí ni uno múltiplo del otro, etc.), mas de dos fracciones (bajo las mismas condiciones anteriores).
Multiplicación
Para multiplicar dos o más fracciones y obtener su producto, se procede como sigue.
Procedimiento:
1) Se multiplican los numeradores entre sí para hallar el numerador del producto.
2) Se multiplican los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto.
3) Se simplifica. Es aconsejable dejar indicados los productos que se hacen en los pasos 1 y 2, simplificar, y luego de simplificar efectuar los productos que quedaron indicados.
Ejemplos ilustrativos
División
Para dividir dos fracciones y obtener su cociente, se procede como sigue.
Procedimiento:
1) Se multiplica el numerador de la primera fracción (dividendo) por el denominador de la segunda (divisor), este será el numerador del cociente.
2) Se multiplica el denominador de la primera fracción (dividendo) por el numerador de la segunda fracción (divisor),, este será el denominador del cociente.
3) Se simplifica. Es aconsejable dejar indicados los productos que se hacen en los pasos 1 y 2, simplificar, y luego de simplificar efectuar los productos que quedaron indicados.
Nota 1: Para dividir dos fracciones también se pueden invertir los términos de la segunda fracción (divisor) y cambiar la operación de dividir por la de multiplicar y proceder a multiplicar las fracciones resultantes.
Nota 2: Para dividir más de dos fracciones, se asocian de a dos en dos las fracciones dadas (ya en el enunciado) y se efectúan las operaciones binarias que están indicadas.
Ejemplos ilustrativos
Ejercicios resueltos
Exprese las siguientes fracciones impropias como números mixtos:
Exprese los siguientes números mixtos como fracciones impropias:
Efectúe las siguientes operaciones de suma y resta con fracciones:
